2027학년도 동국대학교 대비 수리논술 기출 문제집

QUESTIO UNIVERSITY ESSAY SERIES

2027학년도 대입 수리논술 실전 대비

2027학년도 동국대학교 대비
수리논술 실전 모의고사 [제4회] 문제집

• 2026·2025·2024·2023·2022·2021학년도 동국대학교 수시모집 논술전형 자연계열 기출 전 문항 원문 수록
• 1문항 1페이지 실전 A4 모의고사 규격 & 도형·표 스크린샷 '어울림' 조판 준수
• 문항별 출제 과목, 핵심 성취기준 키워드, 권장 소요 시간 및 실전 답안지 일체형 탑재

QUESTIO 입시연구소 · questio.co.kr

🏆 [실전 모의고사 제4회 · 문제 1] 수학Ⅰ·확통 — 맞물려 회전하는 두 원반과 독립시행 확률

2027학년도 동국대 모의고사 제4회 (30점)

수학Ⅰ, 확률과 통계

호도법과 호의 길이, 표본공간과 수학적 확률, 독립시행 [출처: 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.2~6 예제 1 / (DB: KICE_2028) PDF p.1~2 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-03, 12확통02-01, 12확통02-05]

⏱️ 권장 25분 / 전체 90분 (30점)

【가】 반지름의 길이가 $r$인 원에서 중심각의 크기가 $\theta$(라디안)인 부채꼴의 호의 길이 $l$은 $l = r\theta$이다. 서로 미끄러지지 않게 맞물려 회전하는 두 원반이 회전할 때, 접점을 지나간 두 원반의 호의 길이는 서로 같다.

- 『고등학교 수학Ⅰ』

【나】 어떤 시행에서 일어날 수 있는 모든 결과들의 집합을 표본공간 $S$라 하고, 각 근원사건이 일어날 가능성이 모두 같은 정도로 기대될 때 사건 $A$가 일어날 수학적 확률은 $\mathrm{P}(A) = \dfrac{n(A)}{n(S)}$이다.

- 『고등학교 확률과 통계』

【다】 두 사건 $A, B$가 서로 배반사건($A \cap B = \varnothing$)이면 $\mathrm{P}(A \cup B) = \mathrm{P}(A) + \mathrm{P}(B)$이다. 또한 매회 사건 $A$가 일어날 확률이 $p$로 일정한 독립시행을 $n$번 반복할 때 사건 $A$가 $r$번 일어날 확률은 ${}_n\mathrm{C}_r p^r (1-p)^{n-r}$이다.

- 『고등학교 확률과 통계』

[문제 1] 반지름의 길이가 각각 $2\mathrm{cm}, \; 3\mathrm{cm}$인 두 원반 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$가 오른쪽 그림과 같이 서로 미끄러지지 않게 맞물려 있다. 원반 $\mathrm{B}$는 중심각이 $60^\circ$인 회색 부채꼴 $2$개와 중심각이 $120^\circ$인 흰색 부채꼴 $2$개가 교대로 색칠되어 있으며, 정지 상태에서 원반 $\mathrm{A}$의 화살표는 왼쪽 회색 호의 정중앙(위·아래로 각각 $30^\circ$)과 맞닿아 있다. 다음 물음에 답하시오. <15줄 이내> [30점]

(1) 정지 상태에서 원반 $\mathrm{A}$를 반시계 방향으로 $k$회($k$는 자연수) 회전시켰을 때 원반 $\mathrm{B}$가 시계 방향으로 회전한 각의 크기를 구하고, 원반 $\mathrm{A}$의 화살표가 원반 $\mathrm{B}$의 회색 호에 맞닿게 되는 자연수 $k$의 조건을 구하시오. (10점)

(2) 서로 다른 주사위 $2$개를 동시에 던져 나오는 눈의 수의 합만큼 정지 상태에서 원반 $\mathrm{A}$를 반시계 방향으로 회전시킬 때, 이 시행의 표본공간 $S$, 화살표가 회색 호에 맞닿는 사건 $Q$의 원소의 개수 $n(Q)$, 그리고 확률 $\mathrm{P}(Q)$를 각각 구하시오. (10점)

(3) (2)의 시행을 독립적으로 $4$회 반복할 때, 원반 $\mathrm{A}$의 화살표가 원반 $\mathrm{B}$의 회색 호에 맞닿는 횟수가 $2$회 이상일 확률을 구하시오. (10점)

🏆 [실전 모의고사 제4회 · 문제 2] 수학Ⅱ·미적분 — 함수방정식과 이계도함수 및 정적분

2027학년도 동국대 모의고사 제4회 (30점)

수학Ⅱ, 미적분

도함수의 정의, 이계도함수, 정적분의 성질 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ (DB: CAL1_Ch02) PDF p.5~6 예제 1, 예제 2 / (DB: CAL1_Ch03) PDF p.8~9 예제 1 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅱ-02-01]

⏱️ 권장 25분 / 전체 90분 (30점)

【가】 함수 $f(x)$의 도함수 $f'(x)$는 다음과 같이 정의된다. $$f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h}$$

- 『고등학교 수학Ⅱ』

【나】 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속인 함수 $f(x)$의 한 부정적분을 $F(x)$라 하면 $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = \Big[F(x)\Big]_a^b = F(b) - F(a)$이며, 임의의 실수 $c$에 대하여 $\displaystyle\int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx$이다.

- 『고등학교 수학Ⅱ』

【다】 함수 $y = f(x)$의 도함수 $f'(x)$가 미분가능할 때, $f'(x)$의 도함수 $f''(x) = \displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f'(x + h) - f'(x)}{h}$를 함수 $y = f(x)$의 이계도함수라고 한다.

- 『고등학교 미적분』

[문제 2] 실수 전체의 집합에서 도함수와 이계도함수가 존재하는 함수 $f(x)$가 모든 실수 $x, y$에 대하여 $$f(x + y) - f(x - y) = 2f(y)f'(x), \qquad f(0) = 0, \qquad f(2) = a \quad (a > 0)$$ 을 만족할 때, 제시문을 이용하여 다음 물음에 답하시오. <15줄 이내> [30점]

(1) $f'(0)$과 $f''(0)$의 값을 각각 구하고, 모든 실수 $x$에 대하여 $f(-x) = -f(x)$가 성립함을 보이시오. (10점)

(2) 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x + 2) - f(x - 2) = 2af'(x)$임을 이용하여, 정적분 $\displaystyle\int_0^4 f(x)\,dx$의 값을 $a$에 대한 식으로 구하시오. (10점)

(3) 함수 $f(x) = \dfrac{4}{\pi}\sin\!\left(\dfrac{\pi}{4}x\right)$가 주어진 조건을 만족할 때 상수 $a$의 값을 구하고, (2)의 결과를 이용하여 구한 $\displaystyle\int_0^4 f(x)\,dx$의 값이 직접 정적분한 값과 일치함을 확인하시오. (10점)

🏆 [실전 모의고사 제4회 · 문제 3] 수학Ⅱ·미적분 — 음함수 미분법과 원 위를 움직이는 점의 속력

2027학년도 동국대 모의고사 제4회 (40점)

수학Ⅱ, 미적분

함수의 최대·최소, 음함수 미분법, 평면운동의 속도와 속력 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ (DB: CAL1_Ch02) PDF p.8~10 예제 3, 예제 4 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08, 12미적Ⅱ-02-01]

⏱️ 권장 40분 / 전체 90분 (40점)

【가】 좌표평면 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$의 시각 $t$에서의 위치 $(x, y)$가 $x = f(t), \; y = g(t)$일 때, 시각 $t$에서의 속도는 $\left(\dfrac{dx}{dt}, \dfrac{dy}{dt}\right) = (f'(t), g'(t))$이고 속력은 $\sqrt{\{f'(t)\}^2 + \{g'(t)\}^2}$이다.

- 『고등학교 미적분』

【나】 함수 $f(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속이면 이 구간에서 반드시 최댓값과 최솟값을 가진다.

- 『고등학교 수학Ⅱ』

【다】 $t$의 함수 $s$가 방정식 $F(t, s) = 0$의 꼴로 주어졌을 때, $s$를 $t$의 함수로 보고 양변을 $t$에 대하여 미분하여 $\dfrac{ds}{dt}$를 구할 수 있다(음함수의 미분법).

- 『고등학교 미적분』

[문제 3] 오른쪽 그림과 같이 좌표평면 위에 중심이 원점 $\mathrm{O}$이고 반지름의 길이가 $1$인 원과 $x$축 위의 점 $\mathrm{A}(a, 0)$가 있다. (단, $\sqrt{3} \le a \le 3$) 점 $\mathrm{P}$는 점 $(1, 0)$에서 출발하여 시각 $t\;\left(0 \le t < \dfrac{\pi}{2}\right)$일 때 $\angle\mathrm{POA} = t$를 만족하도록 원 위를 반시계 방향으로 움직인다. 직선 $\mathrm{AP}$가 원과 만나는 점 중 $\mathrm{P}$가 아닌 점을 $\mathrm{Q}$라 하자. 시각 $t = t_0$일 때 점 $\mathrm{Q}$의 위치는 $(0, 1)$이다. 다음 물음에 답하시오. <27줄 이내> [40점]

(1) 시각 $t = t_0$일 때 점 $\mathrm{P}$의 좌표 $(\cos t_0, \sin t_0)$를 상수 $a$를 이용하여 나타내시오. (12점)

(2) 시각 $t$에서 점 $\mathrm{Q}$의 위치를 $(\cos s, \sin s)$라 할 때, 음함수의 미분법을 이용하여 시각 $t = t_0$에서의 점 $\mathrm{Q}$의 속력 $v(a)$를 $a$를 이용하여 나타내시오. (14점)

(3) 닫힌구간 $[\sqrt{3}, 3]$에서 시각 $t = t_0$일 때 점 $\mathrm{Q}$의 속력 $v(a)$가 최대가 되도록 하는 $a$의 값과 그때의 최댓값, 그리고 최소가 되도록 하는 $a$의 값과 그때의 최솟값을 각각 구하시오. (14점)